HCF and LCM

एच.सी.एफ. का पूर्ण रूप और एल.सी.एम. हैं, उच्चतम सामान्य गुणनखंड और कम से कम सामान्य गुणक, क्रमशः। एच.सी.एफ. दी गई दो या दो से अधिक संख्याओं के बीच मौजूद सबसे बड़े गुणनखंड को परिभाषित करता है, जबकि L.C.M. वह छोटी से छोटी संख्या को परिभाषित करता है जो दो या दो से अधिक संख्याओं से पूर्णतः विभाज्य हो। एच.सी.एफ. इसे सबसे बड़ा सामान्य कारक (GCF) भी कहा जाता है और LCM को कम से कम सामान्य भाजक भी कहा जाता है।

खोजने के लिए एच.सी.एफ. और L.C.M., हमारे पास दो महत्वपूर्ण विधियाँ हैं जो अभाज्य गुणनखंड विधि और विभाजन विधि हैं। हमने दोनों विधियों को अपनी पिछली कक्षाओं में सीखा है। H.C.F दोनों को खोजने की शॉर्टकट विधि। और एल.सी.एम. एक विभाजन विधि है। आइए हम यहां सूत्र की सहायता से HCF और LCM के बीच संबंध को जानें। साथ ही, हम इन दो अवधारणाओं के आधार पर कुछ समस्याओं को बेहतर ढंग से समझने के लिए हल करेंगे। प्राथमिक और माध्यमिक कक्षा के छात्रों जैसे कक्षा ४, कक्षा ५, कक्षा ६, कक्षा ७ और कक्षा ८ के लिए यहाँ का लेख बहुत उपयोगी है।

गुणनखंड और गुणज: वे सभी संख्याएँ जो किसी संख्या को पूर्ण रूप से विभाजित करती हैं, अर्थात बिना कोई शेष छोड़े, उस संख्या के गुणनखंड कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, 24, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 से पूर्णतः विभाज्य है। इनमें से प्रत्येक संख्या को 24 का गुणनखंड कहा जाता है और 24 को इनमें से प्रत्येक संख्या का गुणज कहते हैं।

HCF and LCM Definition

हम जानते हैं कि किसी संख्या के गुणनखंड उस विशेष संख्या के पूर्ण भाजक होते हैं। आइए उच्चतम सामान्य कारक (H.C.F.) और सबसे कम सामान्य गुणक (L.C.M.) पर आगे बढ़ें।

✓HCF (Highest Common Factor)

एचसीएफ (उच्चतम सामान्य कारक)

जैसा कि गणित के नियम तय करते हैं, सबसे बड़ा सामान्य भाजक या दो या दो से अधिक धनात्मक पूर्णांकों का gcd सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो बिना शेष छोड़े संख्याओं को विभाजित करता है।

 उदाहरण के लिए, 8 और 12 लें। एच.सी.एफ. 8 और 12 का 4 होगा क्योंकि 8 और 12 दोनों को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या 4 है।

HCF of Two Numbers

• दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। 
• अभाज्य पदों की अल्पतम घातों का गुणनफल हमें HCF देता है। यह वह तरीका है जिसे हमने उपरोक्त चरण में दिखाया है।
• साथ ही, दो संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए हम दीर्घ भाग विधि से भी आगे बढ़ सकते हैं। हम बड़ी संख्या को छोटी संख्या (भाजक) से भाग देते हैं। अब, हम भाजक को पिछले चरण में प्राप्त शेषफल से विभाजित करते हैं। हम उसी प्रक्रिया को तब तक दोहराते हैं जब तक हमें शेषफल के रूप में शून्य न मिल जाए। उस स्तर पर, अंतिम भाजक अभीष्ट HCF होगा।

उदाहरण के लिए, हम 30 और 42 का HCF पाते हैं:

• 

✓LCM (Least Common Multiple)

एलसीएम (कम से कम सामान्य एकाधिक)

अंकगणित में, दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य या LCM, जैसे a और b, को LCM (a,b) के रूप में दर्शाया जाता है। और LCM सबसे छोटा या सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जो a और b दोनों से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, आइए हम दो धनात्मक पूर्णांक 4 और 6 लें।

4 के गुणज हैं: 4,8,12,16,20,24…

6 के गुणज हैं: 6,12,18,24….

4 और 6 के सार्व गुणज 12,24,36,48... इत्यादि हैं। उस लॉट में सबसे छोटा सार्व गुणज 12 होगा। आइए अब हम 24 और 15 का LCM निकालने का प्रयास करें।

LCM of 24 and 15 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

LCM of Two Numbers

मान लीजिए कि दो संख्याएँ, 8 और 12 हैं, जिनका LCM हमें ज्ञात करना है। आइए हम इन दोनों संख्याओं के गुणजों को लिखें।

८ = १६, २४, ३२, ४०, ४८, ५६,…

१२ = २४, ३६, ४८, ६०, ७२, ८४,…

आप देख सकते हैं, दो संख्याओं, 8 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य या सबसे छोटा समापवर्तक 24 है।

HCF and LCM Formula

वह सूत्र जिसमें HCF और LCM दोनों शामिल हैं:

दो संख्याओं का गुणनफल = (दो संख्याओं का HCF) x (दो संख्याओं का LCM)

मान लीजिए, A और B दो संख्याएँ हैं, तो सूत्र के अनुसार;

A x B = H.C.F.(A,B) x L.C.M.(A,B)

हम उपरोक्त सूत्र को HCF और LCM के पदों में भी लिख सकते हैं, जैसे:

एच.सी.एफ. दो संख्याओं का गुणनफल = दो संख्याओं का गुणनफल/दो संख्याओं का L.C.M

और

दो संख्याओं का L.C.M = दो संख्याओं का गुणनफल/H.C.F. दो संख्याओं का

How to find HCF and LCM?

दी गई संख्याओं का HCF और LCM ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित विधियों का उपयोग कर सकते हैं।

Prime factorisation method

Division method

आइए हम दोनों विधियों को एक-एक करके सीखें।

Prime Factorisation for HCF

144, 104 और 160 के उच्चतम सामान्य कारक को खोजने का एक उदाहरण लें।

आइए अब हम 144, 104 और 160 के अभाज्य गुणनखंड लिखते हैं।

१४४ = २ × २ × २ × २ × ३ × ३

१०४ = २ × २ × २ × १३

160 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 ×

144, 104 और 160 के सार्व गुणनखंड 2 × 2 × 2 = 8 . हैं

इसलिए, एचसीएफ (144, 104, 160) = 8

Division method to find the HCF (Shortcut method)

किसी दी गई संख्या का HCF ज्ञात करने के चरण;

1) बड़ी संख्या/ छोटी संख्या

२)उपरोक्त चरण का भाजक / शेष

3) चरण 2 / शेष का भाजक। इस चरण को R = 0 (शून्य) तक करते रहें।

4) अंतिम चरण का भाजक HCF होगा।

उपरोक्त चरणों का उपयोग 3 से अधिक संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है।
Example: Find the HCF of 144 and 160 by division method.

१६०>१४४ से, तो लाभांश १६० होगा और भाजक १४४ होगा।

विभाजन विधि का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

इसलिए, हम यहां देख सकते हैं कि 16 सबसे बड़ी संख्या है जो 160 और 144 को विभाजित करती है।

इसलिए, एचसीएफ (144, 160) = 16

LCM By Prime Factorisation

दो संख्याओं ६० और ४५ के एलसीएम की गणना करने के लिए। अन्य तरीकों से, दी गई संख्याओं के एलसीएम को खोजने का एक तरीका नीचे दिया गया है:

पहले प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाइए।

60 = 2 × 2 x 3 × 5

45 = 3 × 3 × 5

फिर प्रत्येक गुणनखंड को किसी भी संख्या में जितनी बार आता है उतनी बार गुणा करें।

यदि दोनों दी गई संख्याओं में एक ही गुणक एक से अधिक बार आता है, तो गुणनखंड को जितनी बार आता है गुणा करें।

उपरोक्त उदाहरण में संख्याओं की घटना:

2: दो बार

3: दो बार

5: एक बार

LCM = 2 × 2 x 3 × 3 × 5 = 180

LCM by Division Method

आइए हम उसी उदाहरण से देखें, जिसे हम अभाज्य गुणनखंड का उपयोग करके एलसीएम ज्ञात करते थे।

(60,45) के एलसीएम को भाग विधि से हल करें।

Therefore, LCM of 60 and 45 = 2 × 2 x 3 × 3 × 5 = 180

Sample Problems

प्रश्न १ : दो संख्याएँ ५:११ के अनुपात में हैं। यदि उनका HCF 7 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल : माना संख्याएँ 5m और 11m हैं। चूँकि 5:11 पहले से ही घटा हुआ अनुपात है, इसलिए 'm' को HCF होना चाहिए। तो, संख्याएँ 5 x 7 = 35 और 11 x 7 = 77 हैं।

 

प्रश्न २ : उस तख़्त की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसका उपयोग कम से कम समय में ४ मीटर ५० सेमी, ९ मीटर ९० सेमी और १६ मीटर २० सेमी की लंबाई को ठीक से मापने के लिए किया जा सकता है।

हल : आइए पहले प्रत्येक लंबाई को cm में बदलें। तो, लंबाई 450 सेमी, 990 सेमी और 1620 सेमी है। अब, हमें सबसे बड़े तख़्त की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है जिसका उपयोग इन लंबाई को मापने के लिए किया जा सकता है क्योंकि सबसे बड़े तख़्त में कम से कम समय लगेगा। इसके लिए हमें 450,990 और 1620 का HCF लेना होगा।

450 = 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 2 x 32 x 52

९९० = २ x ३ x ३ x ५ x ११ = २ x ३२ x ५ x ११

1620 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 5 = 22 x 34 x 5 =

इसलिए, एचसीएफ (450, 990, 1620) = 2 x 3 x 3 x 5 = 90

इस प्रकार, हमें दी गई लंबाई को कम से कम समय में मापने के लिए 90 सेमी लंबाई की एक तख्ती की आवश्यकता होती है।

 

प्रश्न ३ : वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे ७० और ५० को विभाजित करने पर क्रमशः १ और ४ शेष बचे।

हल : अभीष्ट संख्या में क्रमश: 70 और 50 को विभाजित करने पर 1 और 4 शेष बचता है। इसका मतलब है कि संख्या 69 और 46 को पूरी तरह विभाजित करती है।

इसलिए, हमें 69 (3 x 23) और 46 (2 x 23) का HCF ज्ञात करना होगा।

एचसीएफ (69, 46) = 23

अत: 23 अभीष्ट संख्या है।

 

प्रश्न 4 : वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 64, 136 और 238 को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल प्राप्त करे।

हल : वांछित संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें (136-64), (238-136) और (238-64) का HCF, अर्थात् HCF (72, 102, 174) ज्ञात करना होगा।

72 = 23 x 32

102 = 2 x 3 x 17 x

१७४ = २ x ३ x २९

इसलिए, एचसीएफ (72, 102, 174) = 2 x 3 = 6

अत: 6 अभीष्ट संख्या है।

 

प्रश्न 5 : वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 5,7,9 और 12 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 3 शेष बचे।

हल : इस प्रकार के प्रश्नों में हमें भाजक का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना होता है और उसमें सार्व शेष (3) जोड़ना होता है।

तो, एलसीएम (5, 7, 9, 12) = 1260

अतः अभीष्ट संख्या = 1260 + 3 = 1263

 

प्रश्न 6 : 15,21 और 28 से पूर्णतः विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

हल : चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है।

अब, एलसीएम (15, 21, 28) = 420

9999 को 420 से भाग देने पर शेष के रूप में 339 प्राप्त होता है।

अतः अभीष्ट संख्या 9999-339 = 9660 . है

 

प्रश्न 7 : तीन अलग-अलग स्थानों पर पुलिसकर्मी प्रत्येक 42 सेकंड, 60 सेकंड और 78 सेकंड के बाद एक सीटी बजाते हैं। यदि वे सभी 9:30:00 बजे एक साथ सीटी बजाते हैं, तो वे किस समय फिर से एक साथ सीटी बजाते हैं?

हल : वे सभी एक ही समय के अंतराल के बाद फिर से सीटी बजाएंगे जो उनके अलग-अलग सीटी बजाने वाले चक्रों के एलसीएम के बराबर है।

तो, एलसीएम (42, 60, 78) = 2 x 3 x 7 x 10 x 13 = 5460

इसलिए वे ५४६० सेकेंड के बाद, यानी १ घंटे ३१ मिनट के बाद, यानी ११:०१:०० बजे एक साथ फिर से सीटी बजाएंगे।

 

प्रश्न 8 : वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 6,7,8 से भाग देने पर 3 शेष बचे, परन्तु 9 से भाग देने पर शेषफल न बचे।

हल : एलसीएम (6, 7, 8) = 168

तो, संख्या 168m + 3 के रूप की है।

अब, 168m + 3, 9 से विभाज्य होना चाहिए।

हम जानते हैं कि कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 का गुणज हो।

एम = 1 के लिए, संख्या 168 + 3 = 171 है, जिसके अंकों का योग 9 है।

अतः अभीष्ट संख्या 171 है।

 

प्रश्न 9 : दो संख्याएँ 2:3 के अनुपात में हैं। यदि उनके LCM और HCF का गुणनफल 294 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल : माना उभयनिष्ठ अनुपात 'm' है। अतः, संख्याएँ 2m और 3m हैं।

अब, हम जानते हैं कि संख्याओं का गुणनफल = LCM और HCF का गुणनफल।

=> 2m x 3m = 294

=> एम2 = 49

=> एम = 7

इसलिए, संख्याएँ 14 और 21 हैं।

 

प्रश्न 10: 180m x 105m आयाम वाले एक आयताकार क्षेत्र को समान वर्गाकार टाइलों से पक्का किया जाना है। प्रत्येक टाइल का आकार और आवश्यक टाइलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल : हमें एक वर्गाकार टाइल का आकार इस प्रकार ज्ञात करना है कि कई टाइलें खेत को पूरी तरह से ढँक दें, जिससे कोई क्षेत्र कच्चा न रह जाए।

इसके लिए हम खेत की लंबाई और चौड़ाई का HCF ज्ञात करते हैं।

एचसीएफ (180, 105) = 15

इसलिए, प्रत्येक टाइल का आकार = 15m x 15m

साथ ही, टाइलों की संख्या = क्षेत्र का क्षेत्रफल / प्रत्येक टाइल का क्षेत्रफल

=> टाइल्स की संख्या = (180 x 105) / (15 x 15)

=> टाइल्स की संख्या = 84

इसलिए, हमें 84 टाइलों की आवश्यकता है, प्रत्येक का आकार 15m x 15m है।

 

प्रश्न 11 : तीन आयताकार खेत जिनका क्षेत्रफल 60 m2, 84 m2 और 108 m2 है, को समान आयताकार फूलों की क्यारियों में विभाजित किया जाना है, प्रत्येक की लंबाई 6 m है। प्रत्येक फूलों की क्यारी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल : हमें प्रत्येक बड़े खेत को छोटे फूलों की क्यारियों में इस प्रकार बांटना है कि प्रत्येक क्यारी का क्षेत्रफल समान हो।

तो, हम बड़े क्षेत्रों का एचसीएफ पाते हैं जो हमें छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल देता है।

एचसीएफ (60, 84, 108) = 12

अब, यह HCF प्रत्येक फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल (m2 में) है।

साथ ही, एक आयताकार खेत का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई

=> १२ = ६ x चौड़ाई

=> चौड़ाई = 2 मी

अत: प्रत्येक फूलों की क्यारी 2 मीटर चौड़ी होगी।

 

प्रश्न 12 : अधिकतम उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके बीच 182 चॉकलेट और 247 कैंडी इस प्रकार बांटी जा सकती हैं कि प्रत्येक छात्र को प्रत्येक की समान संख्या प्राप्त हो। साथ ही, प्रत्येक छात्र को मिलने वाली चॉकलेट और कैंडी की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल : हमें उपलब्ध चॉकलेटों और कैंडीज की संख्या का HCF ज्ञात करना है, जिससे हमें विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात होगी।

एचसीएफ (182, 247) = 13

तो, 13 छात्र हो सकते हैं।

साथ ही, प्रत्येक छात्र के लिए चॉकलेट की संख्या = 182/13 = 14

प्रत्येक छात्र के लिए टॉफियों की संख्या = 247/13 = 19

Frequently Asked Questions – FAQs

उदाहरण के साथ एचसीएफ क्या है?

दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF या उच्चतम सामान्य गुणनखंड वह सबसे बड़ा गुणनखंड है जो संख्याओं को विभाजित करता है। उदाहरण के लिए, 2, 4 और 6 का एचसीएफ है।

एलसीएम क्या है उदाहरण सहित ?

एलसीएम या कम से कम सामान्य गुणक सबसे छोटी संख्या है जो दो या दो से अधिक दी गई संख्याओं से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 2 और 3 का एलसीएम 6 है।

24 और 36 का GCF क्या है?

अभाज्य गुणनखंडन द्वारा, हम जानते हैं;

36 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36

24 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 और 24

(24,36) का एचसीएफ = 12

एचसीएफ और एलसीएम का सूत्र क्या है?

दो संख्याओं का गुणनफल = (दो संख्याओं का HCF) x (दो संख्याओं का LCM)

हम एलसीएम और एचसीएफ कैसे खोज सकते हैं?

हम अभाज्य गुणनखंडन और लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके एलसीएम और एचसीएफ पा सकते हैं