Ratios And Proportion

अनुपात और समानुपात को भिन्नों के आधार पर प्रमुखता से समझाया गया है। जब एक भिन्न को a:b के रूप में दर्शाया जाता है, तो यह एक अनुपात होता है जबकि एक अनुपात बताता है कि दो अनुपात बराबर हैं। यहाँ a और b कोई दो पूर्णांक हैं। अनुपात और अनुपात दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं, और यह गणित के साथ-साथ विज्ञान में भी विभिन्न अवधारणाओं को समझने का आधार है।

अपने दैनिक जीवन में, हम अनुपात और अनुपात की अवधारणा का उपयोग करते हैं जैसे कि व्यापार में पैसे का लेन-देन करते समय या किसी भी व्यंजन को पकाते समय आदि। कभी-कभी, छात्र अनुपात और अनुपात की अवधारणा से भ्रमित हो जाते हैं। इस लेख में, छात्रों को अधिक हल किए गए उदाहरणों और समस्याओं के साथ इन दो अवधारणाओं की स्पष्ट दृष्टि मिलती है।

उदाहरण के लिए, एक अनुपात है और अनुपात विवरण 20/25 = है। यदि हम इस आनुपातिक कथन को हल करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

20/25 =⅘

20 x 5 = 25 x 4

१०० = १००

इसलिए, अनुपात दो मात्राओं के बीच संबंध को परिभाषित करता है जैसे कि a:b, जहां b 0 के बराबर नहीं है। उदाहरण: 2 से 4 के अनुपात को 2:4 = 1:2 के रूप में दर्शाया गया है। और कथन यहाँ अनुपात में कहा गया है। अनुपात के अनुप्रयोग को प्रत्यक्ष अनुपात में देखा जा सकता है .

What is Ratio and Proportion in Maths?

अनुपात और अनुपात की परिभाषा यहाँ इस खंड में वर्णित है। दोनों अवधारणाएं गणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। वास्तविक जीवन में भी, आपको बहुत सारे उदाहरण मिल सकते हैं जैसे गति की दर (दूरी/समय) या सामग्री की कीमत (रुपये/मीटर), आदि, जहां अनुपात की अवधारणा पर प्रकाश डाला गया है।

अनुपात एक समीकरण है जो परिभाषित करता है कि दो दिए गए अनुपात एक दूसरे के बराबर हैं। उदाहरण के लिए, ट्रेन द्वारा 100 किमी प्रति घंटे की दूरी तय करने में लिया गया समय 500 किमी की दूरी को 5 घंटे में तय करने में लगने वाले समय के बराबर है। जैसे 100 किमी/घंटा = 500 किमी/5 घंटे।

आइए अब हम एक-एक करके गणित अनुपात और अनुपात अवधारणा सीखते हैं।

Definition of Ratio

कुछ स्थितियों में, विभाजन विधि द्वारा दो राशियों की तुलना बहुत कुशल होती है। हम कह सकते हैं कि एक ही प्रकार की दो राशियों की तुलना या सरलीकृत रूप को अनुपात कहा जाता है। यह संबंध हमें बताता है कि कितनी बार एक मात्रा दूसरी मात्रा के बराबर है। सरल शब्दों में, अनुपात वह संख्या है जिसका उपयोग एक मात्रा को दूसरे के अंश के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है।

अनुपात में दो संख्याओं की तुलना केवल तभी की जा सकती है जब उनके पास एक ही इकाई हो। हम दो चीजों की तुलना करने के लिए अनुपात का उपयोग करते हैं। अनुपात को दर्शाने के लिए प्रयुक्त चिह्न ':' है।

अनुपात को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, मान लीजिए 2/5। हम अपने दैनिक जीवन में विभिन्न तुलनाओं या अनुपातों को देखते हैं।

याद रखने योग्य मुख्य बिंदु:

• अनुपात एक ही प्रकार की मात्राओं के बीच मौजूद होना चाहिए
• दो चीजों की तुलना करते समय, इकाइयाँ समान होनी चाहिए
• शब्दों का महत्वपूर्ण क्रम होना चाहिए
• दो अनुपातों की तुलना की जा सकती है, यदि अनुपात भिन्नों के समान हों

Definition of Proportion

अनुपात एक समीकरण है जो परिभाषित करता है कि दो दिए गए अनुपात एक दूसरे के बराबर हैं। दूसरे शब्दों में, अनुपात दो भिन्नों या अनुपातों की समानता को बताता है। अनुपात में, यदि दी गई संख्याओं के दो सेट एक ही अनुपात में बढ़ या घट रहे हैं, तो अनुपातों को एक दूसरे के सीधे आनुपातिक कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, ट्रेन द्वारा 100 किमी प्रति घंटे की दूरी तय करने में लिया गया समय 500 किमी की दूरी को 5 घंटे में तय करने में लगने वाले समय के बराबर है। जैसे 100 किमी/घंटा = 500 किमी/5 घंटे।

अनुपात और अनुपात को एक ही सिक्के के फलक कहा जाता है। जब दो अनुपातों का मान बराबर होता है, तो वे अनुपात में कहलाते हैं। सरल शब्दों में, यह दो अनुपातों की तुलना करता है। समानुपात को '::' या '=' प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है।

दो अनुपातों को a: b और c: d मानें।

फिर दो दिए गए अनुपात पदों के लिए निरंतर अनुपात खोजने के लिए, हम साधनों को एकल पद/संख्या में परिवर्तित करते हैं। यह, सामान्य तौर पर, साधनों का LCM होगा।

दिए गए अनुपात के लिए, b और c का LCM bc होगा।

इस प्रकार, पहले अनुपात को c से और दूसरे अनुपात को b से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

पहला अनुपात- सीए:बीसी

दूसरा अनुपात- बीसी: बीडी

इस प्रकार, निरंतर अनुपात को ca: bc: bd . के रूप में लिखा जा सकता है

Ratio and Proportion Formula

आइए, अब हम यहां गणित अनुपात और समानुपात सूत्र सीखते हैं।

Ratio Formula

मान लें कि, हमारे पास दो मात्राएँ (या दो संख्याएँ या दो निकाय) हैं और हमें इन दोनों का अनुपात ज्ञात करना है, तो अनुपात का सूत्र परिभाषित किया गया है

a: b ⇒ a/b

जहाँ a और b कोई दो राशियाँ हो सकती हैं।

यहां, "ए" को पहला पद या पूर्ववर्ती कहा जाता है, और "बी" को दूसरा शब्द या परिणामी कहा जाता है।

उदाहरण: 4:9 के अनुपात में, 4/9 द्वारा दर्शाया गया है, जहां 4 पूर्ववर्ती है और 9 परिणामी है।

यदि हम अनुपात के प्रत्येक पद को उसी संख्या (गैर-शून्य) से गुणा और विभाजित करते हैं, तो यह अनुपात को प्रभावित नहीं करता है।

उदाहरण: 4:9 = 8:18 = 12:27

Proportion Formula

अब, मान लेते हैं कि, अनुपात में, दो अनुपात a:b और c:d हैं। दो शब्द 'बी' और 'सी' को 'माध्य या माध्य पद' कहा जाता है, जबकि 'ए' और 'डी' शब्दों को 'चरम या चरम पद' के रूप में जाना जाता है।

a/b = c/d or  a : b :: c : d

उदाहरण: आइए एक कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या के एक और उदाहरण पर विचार करें। लड़कियों की संख्या का लड़कों से हमारा पहला अनुपात 3:5 है और दूसरे का 4:8 है, तो अनुपात को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

३ : ५ :: ४ : ८ या ३/५ = ४/८

यहाँ 3 और 8 चरम हैं, जबकि 5 और 4 साधन हैं।

नोट: जब एक ही गैर-शून्य संख्या को गुणा या प्रत्येक पद पर विभाजित किया जाता है तो अनुपात मान प्रभावित नहीं होता है।

Important Properties of Proportion

अनुपात के महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित हैं:

Addendo – If a : b = c : d, then a + c : b + d

Subtrahendo – If a : b = c : d, then a – c : b – d

Dividendo – If a : b = c : d, then a – b : b = c – d : d

Componendo – If a : b = c : d, then a + b : b = c+d : d

Alternendo – If a : b = c : d, then a : c = b: d

Invertendo – If a : b = c : d, then b : a = d : c

Componendo and dividendo – If a : b = c : d, then a + b : a – b = c + d : c – d

Difference Between Ratio and Proportion

अनुपात और अनुपात की अवधारणा को समझने के लिए, यहाँ दिए गए अनुपात और अनुपात के बीच के अंतर को देखें।

S.No	Ratio	Proportion
1	The ratio is used to compare the size of two things with the same unit	The proportion is used to express the relation of two ratios
2	It is expressed using a colon (:), slash (/)	It is expressed using the double colon (::) or equal to the symbol (=)
3	It is an expression	It is an equation
4	Keyword to identify ratio in a problem is “to every”	Keyword to identify proportion in a problem is “out of”

Solved Questions

प्रश्न १: क्या अनुपात ४:५ और ८:१० को समानुपात में कहा गया है?

समाधान:

4:5= 4/5 = 0.8 और 8: 10= 8/10= 0.8

चूँकि दोनों अनुपात समान हैं, इसलिए उन्हें समानुपातिक कहा जाता है।

प्रश्न 2: क्या दो अनुपात 8:10 और 7:10 अनुपात में हैं?

समाधान:

8:10= 8/10= 0.8 और 7:10= 7/10= 0.7

चूंकि दोनों अनुपात समान नहीं हैं, इसलिए वे अनुपात में नहीं हैं।

प्रश्न 3: दिए गए अनुपात हैं-

ए:बी = 2:3

बी: सी = 5:2

सी: डी = 1:4

ए: बी: सी खोजें।

समाधान:

पहले अनुपात को 5 से, दूसरे को 3 से और तीसरे को 6 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

ए: बी = 10: 15

बी: सी = 15: 6

सी: डी = 6: 24

उपरोक्त अनुपात में, सभी माध्य पद समान हैं, इस प्रकार

ए:बी:सी:डी = 10:15:6:24

शब्द की समस्याएं

प्रश्न 4: एक कक्षा में कुल विद्यार्थियों में से, यदि लड़कों की संख्या 5 है और लड़कियों की संख्या 3 है, तो लड़कियों और लड़कों के बीच का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल: लड़कियों और लड़कों के बीच का अनुपात 3:5 (लड़कियां: लड़के) के रूप में लिखा जा सकता है। अनुपात को 3/5 जैसे गुणनखंड के रूप में भी लिखा जा सकता है।

प्रश्न 5: दो संख्याएँ 2:3 के अनुपात में हैं। यदि संख्याओं का योग 60 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है, 2/3 किन्हीं दो संख्याओं का अनुपात है।

माना कि दो संख्याएँ 2x और 3x हैं।

दिए गए प्रश्न के अनुसार इन दोनों संख्याओं का योग = 60

तो, 2x + 3x = 60

5x = 60

एक्स = 12

इसलिए, दो संख्याएँ हैं;

2x = 2 x 12 = 24

तथा

3x = 3 x 12 = 36

24 और 36 अभीष्ट संख्याएँ हैं।

Frequently Asked Questions – FAQs

एक उदाहरण के साथ अनुपात क्या है?

अनुपात एक गणितीय व्यंजक है जिसे a:b के रूप में लिखा जाता है, जहां a और b कोई पूर्णांक हैं। यह एक अंश व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए। 2:3 = ⅔.

अनुपात क्या है उदाहरण सहित ?

एक अनुपात एक बयान है जहां दो या दो से अधिक अनुपात बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, = 4/6 = 6/9।

उदाहरणों के साथ अनुपात कैसे हल करें?

यदि a:b::c:d एक अनुपात है, तो;

ए/बी=सी/डी

विज्ञापन=बीसी

उदाहरण: यदि =4/6, तो,

2 x 6 = 3 x 4

१२ = १२

बुनियादी अनुपात क्या हैं?

अनुपात दो संख्याओं या पूर्णांकों की तुलना करने की एक विधि है जैसे a:b या a से b या a/b जहां b 0 के बराबर नहीं है।

अनुपात की अवधारणा क्या है?

अनुपात की अवधारणा हमें दो मात्राओं की तुलना करने के लिए परिभाषित करती है जबकि अनुपात एक समीकरण है जो दर्शाता है कि दो अनुपात बराबर हैं.

गणित के अनुपात और अनुपात का उपयोग वास्तविक दुनिया की कई समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।