बीजगणित गणित के इतिहास की सबसे पुरानी शाखाओं में से एक है जो संख्या सिद्धांत, ज्यामिति और विश्लेषण से संबंधित है। बीजगणित की परिभाषा कभी-कभी बताती है कि गणितीय प्रतीकों और नियमों का अध्ययन, और इसमें इन गणितीय प्रतीकों का हेरफेर शामिल है। बीजगणित में प्राथमिक समीकरणों को हल करने से लेकर अमूर्तन के अध्ययन तक लगभग सभी चीजें शामिल हैं। गणित के कई अध्यायों में बीजगणित समीकरण शामिल हैं, जो छात्र अपने शिक्षाविदों में सीखेंगे। साथ ही, बीजगणित में कई सूत्र और सर्वसमिकाएँ मौजूद हैं।
What is Algebra?
बीजगणित गणितीय समीकरणों को हल करने में मदद करता है और अज्ञात मात्राओं को प्राप्त करने में मदद करता है, जैसे बैंक ब्याज, अनुपात, प्रतिशत। बीजगणित में चर का उपयोग अज्ञात मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है जो समीकरणों को फिर से लिखने के लिए इस तरह से युग्मित होते हैं।
बीजगणितीय सूत्रों का उपयोग हमारे दैनिक जीवन में दूरी, कंटेनरों की मात्रा और आवश्यकता पड़ने पर बिक्री मूल्य का पता लगाने के लिए किया जाता है। अक्षरों या अन्य प्रतीकों का उपयोग करके संस्थाओं का प्रतिनिधित्व करने वाले गणितीय समीकरण और संबंध को बताने में बीजगणित बहुत मददगार है। समीकरण में अज्ञात मात्राओं को बीजगणित द्वारा हल किया जा सकता है।
बीजगणित के अंतर्गत आने वाले कुछ मुख्य विषयों में बीजगणित की मूल बातें, घातांक, बीजीय व्यंजकों का सरलीकरण, बहुपद, द्विघात समीकरण आदि शामिल हैं।
छात्रों को बीजगणित का पूरा विवरण मिलेगा, जिसमें इसके समीकरण, शब्द, सूत्र आदि शामिल हैं। साथ ही, बीजगणित अवधारणाओं के आधार पर उदाहरणों को हल करें और बीजगणित के मूल सिद्धांतों की बेहतर समझ प्राप्त करने के लिए कार्यपत्रकों का अभ्यास करें। बीजगणित १ और बीजगणित २, गणित के पाठ्यक्रम हैं, जो छात्रों के लिए शिक्षा के प्रारंभिक और बाद के चरणों में क्रमशः शामिल हैं। जैसे, बीजगणित १ प्रारंभिक बीजगणित है जिसका अभ्यास ७,८ या कभी-कभी ९ में किया जाता है, जहाँ बीजगणित की मूल बातें सिखाई जाती हैं। लेकिन, बीजगणित 2 उन्नत बीजगणित है, जिसका अभ्यास हाई स्कूल स्तर पर किया जाता है। बीजगणित की समस्याओं में व्यंजक, बहुपद, समीकरणों की प्रणाली, वास्तविक संख्याएँ, असमानताएँ आदि शामिल होंगे। गणित में उपयोग किए जाने वाले बीजगणित के अधिक प्रतीकों को जानें।
Branches of Algebra
Algebra 1 or Elementary Algebra
Algebra 2 or Advanced Algebra
- असमानताओं वाले समीकरण
- मैट्रिसेस
- रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रणाली
- कार्यों और रैखिक समीकरणों का रेखांकन
- शंकु खंड
- बहुपद समीकरण
- असमानताओं के साथ द्विघात कार्य
- रेडिकल वाले बहुपद और व्यंजक
- अनुक्रम और श्रृंखला
- तर्कसंगत अभिव्यक्ति
- त्रिकोणमिति
- असतत गणित और संभावना
Abstract Algebra
- सेट - सेट को उन वस्तुओं के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक सेट के लिए कुछ विशिष्ट संपत्ति द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। उदाहरण के लिए - सभी 2×2 आव्यूहों का समुच्चय, समतल में मौजूद द्वि-आयामी सदिशों का समुच्चय और परिमित समूहों के विभिन्न रूप।
- बाइनरी ऑपरेशंस - जब जोड़ की अवधारणा की अवधारणा की जाती है, तो यह बाइनरी ऑपरेशंस देता है। सभी बाइनरी ऑपरेशंस की अवधारणा एक सेट के बिना अर्थहीन होगी।
- पहचान तत्व - एक विशिष्ट ऑपरेशन के लिए एक पहचान तत्व का विचार देने के लिए संख्या 0 और 1 की अवधारणा की जाती है। यहां, 0 को जोड़ संक्रिया के लिए पहचान तत्व कहा जाता है, जबकि 1 को गुणन संक्रिया के लिए पहचान तत्व कहा जाता है।
- व्युत्क्रम तत्व - प्रतिलोम तत्वों का विचार एक ऋणात्मक संख्या के साथ आता है। जोड़ के लिए, हम "-a" को "a" के विलोम के रूप में लिखते हैं और गुणा के लिए, व्युत्क्रम रूप को "a-1" के रूप में लिखा जाता है।
- साहचर्यता - जब पूर्णांकों को जोड़ा जाता है, तो साहचर्यता के रूप में जाना जाने वाला एक गुण होता है जिसमें जोड़े गए संख्याओं का समूह योग को प्रभावित नहीं करता। एक उदाहरण पर विचार करें, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4)
Linear Algebra
- रेखीय समीकरण
- वेक्टर रिक्त स्थान
- संबंधों
- मैट्रिक्स और मैट्रिक्स अपघटन
- संबंध और संगणना
Commutative algebra
Parts of Algebra
- बीजगणित का परिचय
- बीजगणित मूल बातें
- बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव
- बीजीय व्यंजकों का गुणन
- BODMAS और कोष्ठक का सरलीकरण
- प्रतिस्थापन विधि
- असमानताओं का समाधान
- घातांक
- घातांक का परिचय
- वर्गमूल और घनमूल
- करणी
- वर्गमूलों को सरल बनाना
- घातांक के नियम
- बीजगणित में घातांक
- सरल बनाना
- सहयोगी संपत्ति, कम्यूटेटिव संपत्ति, वितरण कानून,
- क्रॉस गुणा
- बीजगणित में भिन्न
- बहुपदों
- बहुपद क्या है?
- बहुपदों को जोड़ना और घटाना
- बहुपदों को गुणा करना
- तर्कसंगत अभिव्यक्ति
- बहुपदों को विभाजित करना
- बहुपद लंबा विभाजन
- संयुग्म
- भाजक को युक्तिसंगत बनाना
- द्विघातीय समीकरण
- द्विघात समीकरणों को हल करना
- वर्ग पूरा करना
Important Formulas in Algebra
यहाँ बीजीय सूत्रों की एक सूची है–
- a2 – b2 = (a – b)(a + b)
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
- (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
- (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
- (a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ca
- (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ; (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
- (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
- a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
- a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
- (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
- (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
- a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2)
- a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)
- If n is a natural number an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b+…+ bn-2a + bn-1)
- If n is even (n = 2k), an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b +…+ bn-2a – bn-1)
- If n is odd (n = 2k + 1), an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b +an-3b2…- bn-2a + bn-1)
- (a + b + c + …)2 = a2 + b2 + c2 + … + 2(ab + ac + bc + ….)
- Laws of Exponents (am)(an) = am+n ; (ab)m = ambm ; (am)n = amn
- Fractional Exponents a0 = 1 ;
aman=am−n ;am =1a−m ;a−m =1am
- Roots of Quadratic Equation
- For a quadratic equation ax2 + bx + c = 0 where a ≠ 0, the roots will be given by the equation as
x=−b±b2−4ac√2a - Δ = b2 − 4ac is called the discriminant
- For real and distinct roots, Δ > 0
- For real and coincident roots, Δ = 0
- For non-real roots, Δ < 0
- If α and β are the two roots of the equation ax2 + bx + c = 0 then, α + β = (-b / a) and α × β = (c / a).
- If the roots of a quadratic equation are α and β, the equation will be (x − α)(x − β) = 0
- For a quadratic equation ax2 + bx + c = 0 where a ≠ 0, the roots will be given by the equation as
- Factorials
- n! = (1).(2).(3)…..(n − 1).n
- n! = n(n − 1)! = n(n − 1)(n − 2)! = ….
- 0! = 1
(a+b)n=an+nan−1b+n(n−1)2!an−2b2+n(n−1)(n−2)3!an−3b3+….+bn,where,n>1