अंकगणित में अनुक्रम और श्रृंखला मूल विषयों में से एक है। तत्वों का एक मदबद्ध संग्रह जिसमें किसी भी प्रकार की पुनरावृत्ति की अनुमति है अनुक्रम के रूप में जाना जाता है, जबकि श्रृंखला सभी तत्वों का योग है। एक अंकगणितीय प्रगति अनुक्रम और श्रृंखला के सामान्य उदाहरणों में से एक है।
संक्षेप में, एक अनुक्रम वस्तुओं/वस्तुओं की एक सूची है जिसे क्रमबद्ध तरीके से व्यवस्थित किया गया है।
एक अनुक्रम में सभी शब्दों के योग के रूप में एक श्रृंखला को अत्यधिक सामान्यीकृत किया जा सकता है। हालांकि, अनुक्रम की सभी शर्तों के बीच एक निश्चित संबंध होना चाहिए।
सूत्रों के आधार पर समस्याओं को हल करके बुनियादी बातों को बेहतर ढंग से समझा जा सकता है। वे समुच्चय से बहुत मिलते-जुलते हैं लेकिन प्राथमिक अंतर यह है कि एक क्रम में, अलग-अलग पद विभिन्न पदों पर बार-बार आ सकते हैं। एक अनुक्रम की लंबाई शब्दों की संख्या के बराबर होती है और यह या तो परिमित या अनंत हो सकती है। इस अवधारणा को कक्षा 11 के गणित में विस्तृत तरीके से समझाया गया है। परिभाषा, सूत्रों और उदाहरणों की सहायता से हम यहां अनुक्रम और श्रृंखला की अवधारणाओं पर चर्चा करने जा रहे हैं।
Sequence and Series Definition
एक क्रम किसी विशेष क्रम में किसी वस्तु या संख्याओं के समूह की व्यवस्था है जिसके बाद कुछ नियम होते हैं। यदि a1, a2, a3, a4,……… आदि किसी अनुक्रम के पदों को निरूपित करते हैं, तो 1,2,3,4,….. पद की स्थिति को दर्शाता है।
एक अनुक्रम को शब्दों की संख्या के आधार पर परिभाषित किया जा सकता है अर्थात या तो परिमित अनुक्रम या अनंत अनुक्रम।
अगर a1, a2, a3, a4, ……. एक अनुक्रम है, तो संबंधित श्रृंखला द्वारा दी गई है
SN = a1+a2+a3 + .. + aN
नोट: श्रृंखला परिमित या अनंत है, यह निर्भर करता है कि अनुक्रम परिमित है या अनंत।
Types of Sequence and Series
अनुक्रमों के कुछ सबसे सामान्य उदाहरण हैं:
- अंकगणित अनुक्रम
- ज्यामितीय अनुक्रम
- हार्मोनिक अनुक्रम
- फाइबोनैचि संख्या
अंकगणित अनुक्रम
एक अनुक्रम जिसमें प्रत्येक पद पूर्ववर्ती संख्या में एक निश्चित संख्या को जोड़कर या घटाकर बनाया जाता है, एक अंकगणितीय अनुक्रम है।
ज्यामितीय अनुक्रम
एक अनुक्रम जिसमें प्रत्येक पद एक निश्चित संख्या को पूर्ववर्ती संख्या से गुणा या भाग करके प्राप्त किया जाता है, ज्यामितीय अनुक्रम के रूप में जाना जाता है।
हार्मोनिक अनुक्रम
संख्याओं की एक श्रृंखला को हार्मोनिक अनुक्रम में कहा जाता है यदि अनुक्रम के सभी तत्वों के व्युत्क्रम एक अंकगणितीय अनुक्रम बनाते हैं।
फाइबोनैचि संख्या
फाइबोनैचि संख्याएं संख्याओं का एक दिलचस्प अनुक्रम बनाती हैं जिसमें प्रत्येक तत्व दो पूर्ववर्ती तत्वों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है और अनुक्रम 0 और 1 से शुरू होता है। अनुक्रम को F0 = 0 और F1 = 1 और Fn = Fn-1 + Fn-2 के रूप में परिभाषित किया गया है।
Sequence and Series Formulas
अंकगणितीय प्रगति और ज्यामितीय प्रगति के कुछ बुनियादी सूत्रों की सूची है
| Arithmetic Progression | Geometric Progression | |
| Sequence | a, a+d, a+2d,……,a+(n-1)d,…. | a, ar, ar2,….,ar(n-1),… |
| Common Difference or Ratio | Successive term – Preceding term Common difference = d = a2 – a1 | Successive term/Preceding term Common ratio = r = ar(n-1)/ar(n-2) |
| General Term (nth Term) | an = a + (n-1)d | an = ar(n-1) |
| nth term from the last term | an = l – (n-1)d | an = 1/r(n-1) |
| Sum of first n terms | sn = n/2(2a + (n-1)d) | sn = a(1 – rn)/(1 – r) if r < 1 sn = a(rn -1)/(r – 1) if r > 1 |
*यहाँ, a = प्रथम पद, d = सार्व अंतर, r = उभयनिष्ठ अनुपात, n = पद की स्थिति, l = अंतिम पद
Difference Between Sequences and Series
आइए जानें कि किसी अनुक्रम को श्रृंखला के साथ कैसे विभेदित किया जा सकता है।
| Sequences | Series |
| Set of elements that follow a pattern | Sum of elements of the sequence |
| Order of elements is important | Order of elements is not so important |
| Finite sequence: 1,2,3,4,5 | Finite series: 1+2+3+4+5 |
| Infinite sequence: 1,2,3,4,…… | Infinite Series: 1+2+3+4+…… |
प्रश्न १: यदि ४,७,१०,१३,१६,१९,२२……एक अनुक्रम है, तो खोजें:
- सामान्य अंतर
- नौवां पद
- २१वाँ कार्यकाल
हल: दिया गया क्रम है, 4,7,10,13,16,19,22……
a) सार्व अंतर = 7 - 4 = 3
b) अंकगणितीय अनुक्रम का nवाँ पद Tn द्वारा निरूपित किया जाता है और Tn = a + (n-1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ "a" पहला पद है और d,
सामान्य अंतर।
Tn = 4 + (n -1)3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1
c) 21वाँ पद इस प्रकार है: T21 = 4 + (21-1)3 = 4+60 = 64।
प्रश्न 2: अनुक्रम 1, 4, 16, 64, 256, 1024… पर विचार करें। सामान्य अनुपात और 9वां पद ज्ञात कीजिए।
हल: उभयनिष्ठ अनुपात (r) = 4/1 = 4
अगला पद प्राप्त करने के लिए पिछले पद को 4 से गुणा किया जाता है।
ज्यामितीय अनुक्रम का nवाँ पद Tn द्वारा निरूपित किया जाता है और Tn = ar(n-1) द्वारा दिया जाता है।
जहाँ a पहला पद है और r उभयनिष्ठ अनुपात है।
यहाँ a = 1, r = 4 और n = 9
तो, 9वें पद की गणना T9 = 1* (4)(9-1)= 48 = 65536 के रूप में की जा सकती है।
Frequently Asked Questions
एक अनुक्रम और एक श्रृंखला का क्या अर्थ है?
एक क्रम को एक विशेष क्रम में संख्याओं की व्यवस्था के रूप में परिभाषित किया गया है। दूसरी ओर, एक श्रृंखला को अनुक्रम के तत्वों के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अनुक्रमों के कुछ सामान्य प्रकार क्या हैं?
गणित में कुछ लोकप्रिय क्रम हैं:
- अंकगणित अनुक्रम
- ज्यामितीय अनुक्रम
- हार्मोनिक अनुक्रम
- फाइबोनैचि संख्या
परिमित और अनंत अनुक्रम और श्रृंखला क्या हैं?
अनुक्रम: एक परिमित अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसमें अंतिम शब्द होता है जैसे कि a1, a2, a3, a4, a5, a6……an। दूसरी ओर, एक अनंत अनुक्रम कभी न खत्म होने वाला होता है अर्थात a1, a2, a3, a4, a5, a6……an…..
श्रृंखला: एक परिमित श्रृंखला में, शब्दों की एक सीमित संख्या a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + …… a की तरह लिखी जाती है। एक अनंत श्रृंखला के मामले में, तत्वों की संख्या परिमित नहीं होती है अर्थात a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ……an +…..