Algebra

बीजगणित गणित के इतिहास की सबसे पुरानी शाखाओं में से एक है जो संख्या सिद्धांत, ज्यामिति और विश्लेषण से संबंधित है। बीजगणित की परिभाषा कभी-कभी बताती है कि गणितीय प्रतीकों और नियमों का अध्ययन, और इसमें इन गणितीय प्रतीकों का हेरफेर शामिल है। बीजगणित में प्राथमिक समीकरणों को हल करने से लेकर अमूर्तन के अध्ययन तक लगभग सभी चीजें शामिल हैं। गणित के कई अध्यायों में बीजगणित समीकरण शामिल हैं, जो छात्र अपने शिक्षाविदों में सीखेंगे। साथ ही, बीजगणित में कई सूत्र और सर्वसमिकाएँ मौजूद हैं।

What is Algebra?

बीजगणित गणितीय समीकरणों को हल करने में मदद करता है और अज्ञात मात्राओं को प्राप्त करने में मदद करता है, जैसे बैंक ब्याज, अनुपात, प्रतिशत। बीजगणित में चर का उपयोग अज्ञात मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है जो समीकरणों को फिर से लिखने के लिए इस तरह से युग्मित होते हैं।

बीजगणितीय सूत्रों का उपयोग हमारे दैनिक जीवन में दूरी, कंटेनरों की मात्रा और आवश्यकता पड़ने पर बिक्री मूल्य का पता लगाने के लिए किया जाता है। अक्षरों या अन्य प्रतीकों का उपयोग करके संस्थाओं का प्रतिनिधित्व करने वाले गणितीय समीकरण और संबंध को बताने में बीजगणित बहुत मददगार है। समीकरण में अज्ञात मात्राओं को बीजगणित द्वारा हल किया जा सकता है।

बीजगणित के अंतर्गत आने वाले कुछ मुख्य विषयों में बीजगणित की मूल बातें, घातांक, बीजीय व्यंजकों का सरलीकरण, बहुपद, द्विघात समीकरण आदि शामिल हैं।

छात्रों को बीजगणित का पूरा विवरण मिलेगा, जिसमें इसके समीकरण, शब्द, सूत्र आदि शामिल हैं। साथ ही, बीजगणित अवधारणाओं के आधार पर उदाहरणों को हल करें और बीजगणित के मूल सिद्धांतों की बेहतर समझ प्राप्त करने के लिए कार्यपत्रकों का अभ्यास करें। बीजगणित १ और बीजगणित २, गणित के पाठ्यक्रम हैं, जो छात्रों के लिए शिक्षा के प्रारंभिक और बाद के चरणों में क्रमशः शामिल हैं। जैसे, बीजगणित १ प्रारंभिक बीजगणित है जिसका अभ्यास ७,८ या कभी-कभी ९ में किया जाता है, जहाँ बीजगणित की मूल बातें सिखाई जाती हैं। लेकिन, बीजगणित 2 उन्नत बीजगणित है, जिसका अभ्यास हाई स्कूल स्तर पर किया जाता है। बीजगणित की समस्याओं में व्यंजक, बहुपद, समीकरणों की प्रणाली, वास्तविक संख्याएँ, असमानताएँ आदि शामिल होंगे। गणित में उपयोग किए जाने वाले बीजगणित के अधिक प्रतीकों को जानें।

Branches of Algebra

जैसा कि ज्ञात है कि, बीजगणित अज्ञात मूल्यों पर आधारित अवधारणा है जिसे चर कहा जाता है। बीजगणित की महत्वपूर्ण अवधारणा समीकरण हैं। यह अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के लिए विभिन्न नियमों का पालन करता है। नियमों का उपयोग डेटा के सेट को समझने के लिए किया जाता है जिसमें दो या दो से अधिक चर शामिल होते हैं। इसका उपयोग हमारे आस-पास की कई चीजों का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। आप शायद बीजगणित की अवधारणा को साकार किए बिना उसका उपयोग करेंगे। बीजगणित को विभिन्न उप-शाखाओं में विभाजित किया जाता है जैसे कि प्रारंभिक बीजगणित, उन्नत बीजगणित, अमूर्त बीजगणित, रैखिक बीजगणित, और कम्यूटेटिव बीजगणित।

Algebra 1 or Elementary Algebra

प्राथमिक बीजगणित आधुनिक प्राथमिक बीजगणित पाठ्यक्रम में अध्ययन किए गए पारंपरिक विषयों को शामिल करता है। अंकगणित में गणितीय संक्रियाओं के साथ-साथ +, -, x, numbers भी शामिल हैं। लेकिन बीजगणित के क्षेत्र में, संख्याओं को अक्सर प्रतीकों द्वारा दर्शाया जाता है और चर कहलाते हैं जैसे x, a, n, y। यह अंकगणित के नियमों जैसे a + b = b + a के सामान्य सूत्रीकरण की भी अनुमति देता है और यह पहला कदम है जो वास्तविक संख्याओं की प्रणाली के सभी गुणों की व्यवस्थित खोज को दर्शाता है।

प्रारंभिक बीजगणित के अंतर्गत आने वाली अवधारणाओं में चर, भावों और समीकरणों का मूल्यांकन, समानता और असमानताओं के गुण, बीजीय समीकरणों को हल करना और एक या दो चर वाले रैखिक समीकरण आदि शामिल हैं।

Algebra 2 or Advanced Algebra

यह मध्यवर्ती स्तर का बीजगणित है। इस बीजगणित में पूर्व-बीजगणित की तुलना में हल करने के लिए उच्च स्तर के समीकरण हैं। उन्नत बीजगणित आपको बीजगणित के अन्य भागों के माध्यम से जाने में मदद करेगा जैसे:

• असमानताओं वाले समीकरण
• मैट्रिसेस
• रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रणाली
• कार्यों और रैखिक समीकरणों का रेखांकन
• शंकु खंड
• बहुपद समीकरण
• असमानताओं के साथ द्विघात कार्य
• रेडिकल वाले बहुपद और व्यंजक
• अनुक्रम और श्रृंखला
• तर्कसंगत अभिव्यक्ति
• त्रिकोणमिति
• असतत गणित और संभावना

Abstract Algebra

सार बीजगणित बीजगणित में विभाजनों में से एक है जो कुछ कार्यों की विशिष्ट प्रकृति से स्वतंत्र बीजगणितीय प्रणालियों से संबंधित सत्य की खोज करता है। इन ऑपरेशनों में, विशिष्ट मामलों में, कुछ गुण होते हैं। इस प्रकार हम ऐसे गुणों के कुछ परिणामों का निष्कर्ष निकाल सकते हैं। इसलिए गणित की इस शाखा को अमूर्त बीजगणित कहा जाता है।

अमूर्त बीजगणित बीजगणितीय संरचनाओं जैसे कि फ़ील्ड, समूह, मॉड्यूल, रिंग, जाली, वेक्टर रिक्त स्थान आदि से संबंधित है।

अमूर्त बीजगणित की अवधारणाएँ नीचे हैं-

1. सेट - सेट को उन वस्तुओं के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक सेट के लिए कुछ विशिष्ट संपत्ति द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। उदाहरण के लिए - सभी 2×2 आव्यूहों का समुच्चय, समतल में मौजूद द्वि-आयामी सदिशों का समुच्चय और परिमित समूहों के विभिन्न रूप।
2. बाइनरी ऑपरेशंस - जब जोड़ की अवधारणा की अवधारणा की जाती है, तो यह बाइनरी ऑपरेशंस देता है। सभी बाइनरी ऑपरेशंस की अवधारणा एक सेट के बिना अर्थहीन होगी।
3. पहचान तत्व - एक विशिष्ट ऑपरेशन के लिए एक पहचान तत्व का विचार देने के लिए संख्या 0 और 1 की अवधारणा की जाती है। यहां, 0 को जोड़ संक्रिया के लिए पहचान तत्व कहा जाता है, जबकि 1 को गुणन संक्रिया के लिए पहचान तत्व कहा जाता है।
4. व्युत्क्रम तत्व - प्रतिलोम तत्वों का विचार एक ऋणात्मक संख्या के साथ आता है। जोड़ के लिए, हम "-a" को "a" के विलोम के रूप में लिखते हैं और गुणा के लिए, व्युत्क्रम रूप को "a-1" के रूप में लिखा जाता है।
5. साहचर्यता - जब पूर्णांकों को जोड़ा जाता है, तो साहचर्यता के रूप में जाना जाने वाला एक गुण होता है जिसमें जोड़े गए संख्याओं का समूह योग को प्रभावित नहीं करता। एक उदाहरण पर विचार करें, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4)

Linear Algebra

रैखिक बीजगणित बीजगणित की एक शाखा है जो अनुप्रयुक्त और शुद्ध गणित दोनों पर लागू होती है। यह वेक्टर रिक्त स्थान के बीच रैखिक मानचित्रण से संबंधित है। यह विमानों और रेखाओं के अध्ययन से भी संबंधित है। यह रूपांतरण गुणों के साथ समीकरणों के रैखिक सेट का अध्ययन है। इसका उपयोग गणित के लगभग सभी क्षेत्रों में किया जाता है। यह वेक्टर रिक्त स्थान में और मैट्रिक्स के माध्यम से उनके प्रतिनिधित्व के साथ रैखिक कार्यों के लिए रैखिक समीकरणों से संबंधित है। रैखिक बीजगणित में शामिल महत्वपूर्ण विषय इस प्रकार हैं:

• रेखीय समीकरण
• वेक्टर रिक्त स्थान
• संबंधों
• मैट्रिक्स और मैट्रिक्स अपघटन
• संबंध और संगणना

Commutative algebra

कम्यूटेटिव बीजगणित बीजगणित की शाखाओं में से एक है जो कम्यूटेटिव रिंगों और उसके आदर्शों का अध्ययन करती है। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, साथ ही बीजगणितीय ज्यामिति, क्रमागत बीजगणित पर निर्भर करता है। इसमें बीजीय पूर्णांकों के वलय, बहुपद वलय आदि शामिल हैं। गणित के कई अन्य क्षेत्र हैं जो अलग-अलग तरीकों से कम्यूटेटिव बीजगणित को आकर्षित करते हैं जैसे कि डिफरेंशियल टोपोलॉजी, इनवेरिएंट थ्योरी, ऑर्डर थ्योरी और सामान्य टोपोलॉजी। इसने आधुनिक शुद्ध गणित में एक उल्लेखनीय भूमिका निभाई है।

Parts of Algebra

1. बीजगणित का परिचय

• बीजगणित मूल बातें
• बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव
• बीजीय व्यंजकों का गुणन
• BODMAS और कोष्ठक का सरलीकरण
• प्रतिस्थापन विधि
• असमानताओं का समाधान

1. घातांक

• घातांक का परिचय
• वर्गमूल और घनमूल
• करणी
• वर्गमूलों को सरल बनाना
• घातांक के नियम
• बीजगणित में घातांक
• सरल बनाना
• सहयोगी संपत्ति, कम्यूटेटिव संपत्ति, वितरण कानून,
• क्रॉस गुणा
• बीजगणित में भिन्न

1. बहुपदों

• बहुपद क्या है?
• बहुपदों को जोड़ना और घटाना
• बहुपदों को गुणा करना
• तर्कसंगत अभिव्यक्ति
• बहुपदों को विभाजित करना
• बहुपद लंबा विभाजन

1. संयुग्म

• भाजक को युक्तिसंगत बनाना
• द्विघातीय समीकरण
• द्विघात समीकरणों को हल करना
• वर्ग पूरा करना

Important Formulas in Algebra

यहाँ बीजीय सूत्रों की एक सूची है–

• a2 – b2 = (a – b)(a + b)
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
• (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
• (a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ca
• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ; (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
• a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
• a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
• (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
• (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
• a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2)
• a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)
• If n is a natural number an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b+…+ bn-2a + bn-1)
• If n is even (n = 2k), an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b +…+ bn-2a – bn-1)
• If n is odd (n = 2k + 1), an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b +an-3b2…- bn-2a + bn-1)
• (a + b + c + …)2 = a2 + b2 + c2 + … + 2(ab + ac + bc + ….)
• Laws of Exponents (am)(an) = am+n ; (ab)m = ambm ; (am)n = amn
• Fractional Exponents a0 = 1 ; aman=am−n ; am = 1a−m ; a−m = 1am

• Roots of Quadratic Equation

• • For a quadratic equation ax2 + bx + c = 0 where a ≠ 0, the roots will be given by the equation as x=−b±b2−4ac√2a
  • Δ = b2 − 4ac is called the discriminant
  • For real and distinct roots, Δ > 0
  • For real and coincident roots, Δ = 0
  • For non-real roots, Δ < 0
  • If α and β are the two roots of the equation ax2 + bx + c = 0 then, α + β = (-b / a) and α × β = (c / a).
  • If the roots of a quadratic equation are α and β, the equation will be (x − α)(x − β) = 0

• Factorials

• • n! = (1).(2).(3)…..(n − 1).n
  • n! = n(n − 1)! = n(n − 1)(n − 2)! = ….
  • 0! = 1
  • (a+b)n=an+nan−1b+n(n−1)2!an−2b2+n(n−1)(n−2)3!an−3b3+….+bn,where,n>1

Solved Examples

उदाहरण 1: 52 - 32 का मान ज्ञात कीजिए

समाधान:

सूत्र a2 – b2 = (a – b)(a + b) का प्रयोग करना

जहां ए = 5 और बी = 3

(ए - बी) (ए + बी)

= (5 - 3)(5 + 3)

= 2 × 8

= 16

उदाहरण २: ४३ × ४२ = ?

समाधान:

घातांकीय सूत्र का उपयोग करना (am)(a) = am+n

जहां ए = 4

43 × 42

= 43+2

= 45

= १०२४

Frequently Asked Questions on Algebra

बीजगणित की मूल बातें क्या हैं?

बीजगणित की मूल बातें हैं:

बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव

गुणन और बीजीय व्यंजक का विभाजन

समीकरण हल करना

शाब्दिक समीकरण और सूत्र

लागू मौखिक समस्याएं

बीजीय समीकरणों के प्रकारों का उल्लेख कीजिए

बीजीय समीकरणों के पाँच मुख्य प्रकार हैं:

एकपदी या बहुपद समीकरण

घातीय समीकरण

त्रिकोणमितीय समीकरण

लघुगणक समीकरण

परिमेय समीकरण

बीजगणित की शाखाएं क्या हैं?

बीजगणित की शाखाएँ हैं:

पूर्व बीजगणित

प्राथमिक बीजगणित

सार बीजगणित

रेखीय बीजगणित

सार्वभौमिक बीजगणित