त्रिकोणमिति गणित के इतिहास की महत्वपूर्ण शाखाओं में से एक है और यह अवधारणा ग्रीक गणितज्ञ हिप्पार्कस द्वारा दी गई है। यहां, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध का अध्ययन करेंगे। त्रिकोणमिति की मूल बातें तीन प्राथमिक कार्यों को परिभाषित करती हैं जो साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा हैं।
त्रिकोणमिति गणित में उन विभाजनों में से एक है जो त्रिकोणमितीय अनुपातों की सहायता से त्रिभुज के कोणों और लुप्त भुजाओं को खोजने में मदद करता है। कोणों को या तो रेडियन या डिग्री में मापा जाता है। आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले त्रिकोणमिति कोण 0°, 30°, 45°, 60° और 90° हैं।
त्रिकोणमिति को दो उप-शाखाओं में विभाजित किया जा सकता है जिन्हें समतल त्रिकोणमिति और गोलाकार ज्यामिति कहा जाता है। यहां, आप त्रिकोणमितीय सूत्रों, कार्यों और अनुपातों आदि के बारे में जानेंगे।
Trigonometry Ratios-Sine, Cosine, Tangent
त्रिभुज के त्रिकोणमितीय अनुपातों को त्रिकोणमितीय फलन भी कहा जाता है। साइन, कोसाइन और टेंगेंट 3 महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय कार्य हैं और इन्हें साइन, कॉस और टैन के रूप में संक्षिप्त किया गया है। आइए देखें कि एक समकोण त्रिभुज के मामले में इन अनुपातों या कार्यों का मूल्यांकन कैसे किया जाता है।
एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें, जहाँ सबसे लंबी भुजा को कर्ण कहा जाता है, और कर्ण के विपरीत भुजाओं को आसन्न और विपरीत भुजाएँ कहा जाता है।
Six Important Trigonometric Functions
छह महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय कार्यों (त्रिकोणमितीय अनुपात) की गणना नीचे दिए गए सूत्रों का उपयोग करके और उपरोक्त आंकड़े पर विचार करके की जाती है। समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बारे में ज्ञान प्राप्त करना आवश्यक है क्योंकि यह महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय फलनों के समुच्चय को परिभाषित करता है।
| Functions | Abbreviation | Relationship to sides of a right triangle |
| Sine Function | sin | Opposite side/ Hypotenuse |
| Tangent Function | tan | Opposite side / Adjacent side |
| Cosine Function | cos | Adjacent side / Hypotenuse |
| Cosecant Function | cosec | Hypotenuse / Opposite side |
| Secant Function | sec | Hypotenuse / Adjacent side |
| Cotangent Function | cot | Adjacent side / Opposite side |
Trigonometry Angles
त्रिकोणमिति के कोण जो आमतौर पर त्रिकोणमिति की समस्याओं में उपयोग किए जाते हैं, वे हैं 0°, 30°, 45°, 60° और 90°। इन कोणों के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा जैसे त्रिकोणमितीय अनुपातों को याद रखना आसान होता है। हम वह तालिका भी दिखाएंगे जहां सभी अनुपातों और उनके संबंधित कोणों के मूल्यों का उल्लेख किया गया है। इन कोणों को खोजने के लिए हमें एक समकोण त्रिभुज बनाना होगा, जिसमें न्यून कोणों में से एक संगत त्रिकोणमिति कोण होगा। इन कोणों को इससे जुड़े अनुपात के संबंध में परिभाषित किया जाएगा।
उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज में,
Sin θ = लंबवत/कर्ण
या = Sin-1 (पी/एच)
इसी तरह,
= cos-1 (आधार/कर्ण)
θ = tan-1 (लंबवत/आधार)
Trigonometry Table
सामान्य कोणों के लिए तालिका की जाँच करें जिनका उपयोग त्रिकोणमितीय अनुपातों से संबंधित कई त्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।
| Angles | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| Sin θ | 0 | ½ | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| Cos θ | 1 | √3/2 | 1/√2 | ½ | 0 |
| Tan θ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∞ |
| Cosec θ | ∞ | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| Sec θ | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | ∞ |
| Cot θ | ∞ | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
इसी तरह, हम 90 डिग्री से अधिक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात मान प्राप्त कर सकते हैं, जैसे कि 180°, 270° और 360°।
Unit Circle
इकाई वृत्त की अवधारणा हमें सीधे cos, sin और tan के कोणों को मापने में मदद करती है क्योंकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित है और त्रिज्या 1 है। थीटा को एक कोण मानें तो,
मान लीजिए कि लंब की लंबाई y है और आधार की x है। कर्ण की लंबाई इकाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, जो कि 1 है। इसलिए, हम त्रिकोणमिति अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं;
| Sin θ | y/1 = y |
| Cos θ | x/1 = x |
| Tan θ | y/x |
List of Trigonometry Formulas
त्रिकोणमितीय सूत्र या सर्वसमिकाएँ वे समीकरण हैं जो समकोण त्रिभुजों के मामले में सत्य हैं। कुछ विशेष त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ नीचे दी गई हैं -
- Pythagorean Identities
- sin²θ + cos²θ = 1
- tan2θ + 1 = sec2θ
- cot2θ + 1 = cosec2θ
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ – sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 – tan²θ)
- cot 2θ = (cot²θ – 1) / 2 cot θ
- Sum and Difference identities-
For angles u and v, we have the following relationships:
- sin(u + v) = sin(u)cos(v) + cos(u)sin(v)
- cos(u + v) = cos(u)cos(v) – sin(u)sin(v)
- tan(u+v) =
tan(u) + tan(v)1−tan(u) tan(v) - sin(u – v) = sin(u)cos(v) – cos(u)sin(v)
- cos(u – v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)
- tan(u-v) =
tan(u) − tan(v)1+tan(u) tan(v)
- If A, B and C are angles and a, b and c are the sides of a triangle, then,
Sine Laws
- a/sinA = b/sinB = c/sinC
Cosine Laws
- c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
- a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
- b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
Trigonometry Identities
तीन महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं:
- sin²θ + cos²θ = 1
- tan²θ + 1 = sec²θ
- cot²θ + 1 = cosec²θ
Trigonometry Basics
त्रिकोणमिति में तीन बुनियादी कार्य साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा हैं। इन तीन कार्यों के आधार पर अन्य तीन फलन जो कि कोटैंजेंट, सेकेंट और कॉसेकेंट हैं, व्युत्पन्न होते हैं।
सभी त्रिकोणमितीय अवधारणाएं इन कार्यों पर आधारित हैं। इसलिए, त्रिकोणमिति को और समझने के लिए हमें पहले इन कार्यों और उनके संबंधित सूत्रों को सीखना होगा।
यदि समकोण त्रिभुज में कोण है, तो
Sin θ = लंबवत/कर्ण
Cos = आधार / कर्ण
tan = लंबवत/आधार
लंब कोण के विपरीत भुजा है।
आधार कोण की आसन्न भुजा है।
कर्ण समकोण के विपरीत भुजा है
अन्य तीन कार्य अर्थात् खाट, सेक और कोसेक क्रमशः टैन, कॉस और पाप पर निर्भर करते हैं, जैसे:
Cot = 1/tan
Sec θ = 1/cos
Cosec = १/Sin
इसलिये,
Cot = आधार / लंबवत
Sec = कर्ण/आधार
Cosec = कर्ण/लंब
Frequently Asked Questions
त्रिकोणमिति से आप क्या समझते हैं?
त्रिकोणमिति गणित की शाखाओं में से एक है जो एक त्रिभुज (समकोण त्रिभुज) की भुजाओं और उसके कोणों के बीच के संबंध से संबंधित है। 6 त्रिकोणमितीय फलन हैं जिनके लिए भुजाओं और कोणों के बीच संबंध को परिभाषित किया गया है। BYJU'S पर जाकर अब त्रिकोणमिति के बारे में और जानें।
छह बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य क्या हैं?
6 त्रिकोणमितीय कार्य हैं जो हैं:
- Sin
- Cos
- Tan
- Cot
- Sec
- Cosec
छह त्रिकोणमिति कार्यों का सूत्र क्या है?
छह त्रिकोणमिति कार्यों के लिए सूत्र हैं:
- Sin A = विपरीत पक्ष/कर्ण
- Cos A = आसन्न भुजा / कर्ण
- Tan A = विपरीत पक्ष / आसन्न पक्ष
- Cot A = आसन्न पक्ष / विपरीत पक्ष
- Sec A = कर्ण / आसन्न पक्ष
- Cosec A = कर्ण / विपरीत पक्ष
त्रिकोणमिति का प्राथमिक कार्य क्या है?
त्रिकोणमिति के तीन प्राथमिक कार्य हैं साइन फंक्शन, कोसाइन फंक्शन और टेंगेंट फंक्शन।
त्रिकोणमिति के जनक कौन है ?
एक यूनानी खगोलशास्त्री, भूगोलवेत्ता और गणितज्ञ, हिप्पार्कस ने त्रिकोणमिति की अवधारणा की खोज की।
वास्तविक जीवन में त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग क्या हैं?
त्रिकोणमिति के सबसे महत्वपूर्ण वास्तविक जीवन अनुप्रयोगों में से एक ऊंचाई और दूरी की गणना में है। कुछ क्षेत्र जहां त्रिकोणमिति की अवधारणाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, वे हैं उड्डयन विभाग, नेविगेशन, अपराध विज्ञान, समुद्री जीव विज्ञान, आदि।
